Question

如图，O为坐标原点，点A，B在⊙O上，且点A在第一象限，点B（-

3

5

，

4

5

），点C为⊙O与x轴正半轴的交点，设∠COB=θ．
（1）求sin2θ的值；
（2）若

OA

•

OB

=

2

2

，求点A的横坐标x_A．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,平面向量数量积的运算,单位圆与周期性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由三角函数定义知cosθ=-

3

5

，sinθ=

4

5

，由二倍角公式可求sin2θ的值．
（2）先求cos∠BOA=

2

2

，可得∠BOA=45°，又∠BOC=θ，可得cos∠AOC=cos（∠BOC-∠BOA）=cos（θ-45°），可求cos（θ-45°）=

2

10

，从而可求点A的横坐标x_A．

解答： 解：（1）因点C在 x轴正半轴上，点B（-

3

5

，

4

5

），∠COB=θ，
所以由三角函数定义知cosθ=-

3

5

，sinθ=

4

5

，…（3分）
所以sin2θ=2sinθcosθ=-

24

25

．…（6分）
（2）因为

OA

•

OB

=OA•OB•cos∠BOA=

2

2

，又OA=OB=

(- 3 5 )2+( 4 5 )2

=1，
所以cos∠BOA=

2

2

，由题意可知∠BOA=45°，…（9分）
又∠BOC=θ，所以cos∠AOC=cos（∠BOC-∠BOA）=cos（θ-45°），
而cos（θ-45°）=cosθcos45°+sinθsin45°=

2

10

．…（12分）
故点A的横坐标x_A=OA•cos∠AOC=1×

2

10

=

2

10

． …（14分）

点评：本题主要考察了二倍角的正弦公式的应用，平面向量数量积的运算，单位圆与周期性，属于基本知识的考查．