Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1，公差大于0的等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是首项b₁=2的等比数列，且b₂S₂=16，b₃S₃=72．
（1）求a_n和b_n；
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+kb_k（k=1，2，3，…），求数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接利用等差数列和等比数列建立方程组求出数列的通项公式．
（2）根据构造的新数列的特点，利用乘公比错位相减法和等差数列的前n项和公式求出结果．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0）数列{b_n}的公比为q，
则a_n=1+（n-1）d，bn=2qn-1．
依题意得b₂S₂=2q（2+d）=16，b3S3=2q2(3+3d)=72
由此得

q(2+d)=8 q2(1+d)=12

∵d＞0，解得

d=2 q=2

．
∴a_n=2n-1，bn=2n．
（2）∵T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2•b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）
=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n）
令A=b₁+2b₂+…+nb_n
则A=2+2•2²+…+n•2ⁿ2A
=2²+2•2³+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹-A
=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴A=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
又S2n=

2n(1+a2n)

2

=4n2，
∴T2n+1=1+4n2+n•2n+1-2n+1+2
=3+4n²+（n-1）2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用，数列前n项和的应用．属于中等题型．