Question

18．若0＜m＜n＜2，e为自然对数的底数，则下列各式中一定成立的是（　　）

• A． meⁿ＜ne^m
• B． meⁿ＞ne^m
• C． mlnn＞nlnm
• D． mlnn＜nlnm

Answer 1

分析 分别构造函数设f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用导数判断f（x），g（x）的单调性，根据单调性比较即可

解答 解：设f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＞0在（0，2）上恒成立，
∴f（x）在（0，2）上单调递增，
∴f（m）＜f（n），
∴$\frac{lnm}{m}$＜$\frac{lnn}{n}$，
即mlmn＞nlnm，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∵0＜m＜n＜2，
∴无法比较g（m）与g（n）的大小，
即无法判断meⁿ与ne^m的大小，
故选：D

点评 本题考查了函数单调性的应用，关键是构造函数，属于中档题