Question

8．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{e}}}$（x²+$\frac{1}{e}$）-|${\frac{x}{e}}$|，则使得f（x+1）＜f（2x-1）成立x的范围是（0，2）．

Answer 1

分析 根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|＞|2x-1|，解出即可．

解答 解：∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{e}}}$（x²+$\frac{1}{e}$）-|${\frac{x}{e}}$|，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，
x＞0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{e}}}$（x²+$\frac{1}{e}$）-${\frac{x}{e}}$，
∴f（x）为减函数，
∴当x＜0时，f（x）为增函数
若f（x+1）＜f（2x-1），
则|x+1|＞|2x-1|，解得：0＜x＜2，
故答案为：（0，2）．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，是一道中档题．