Question

3．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是$\frac{2}{3}$b，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{13}{9}$
• B． $\frac{10}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：抛物线的焦点F（c，0），准线x=-c，将x=-c代入双曲线方程，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即可求得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，a=3b，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：抛物线的焦点F（c，0），准线x=-c，
将x=-c代入双曲线方程，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
则准线被该双曲线截得的弦长为$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，a=3b，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率公式，考查计算能力，属于基础题．