Question

14．若直线l与曲线M（x₀，y₀）满足下列两个条件：
（1）直线l在点M（x₀，y₀）处与曲线C相切；
（2）曲线C在点M附近位于直线l的两侧，则称直线l在点M处“内切”曲线C．
下列命题正确的是①②（写出所有正确命题的编号）
①直线l：y=0在点M（0，0）处“内切”曲线C：y=x³
②直线l：y=x在点M（0，0）处“内切”曲线C：y=sinx
③直线l：y=x-1在点M（1，0）处“内切”曲线C：y=lnx．

Answer 1

分析 分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点M处的导数值，求出曲线在点M处的切线方程，再由曲线在点M两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足条件（2），则正确的选项可求．

解答 解：①，由y=x³，得y′=3x²，则y′|_x=0=0，直线y=0是在点M（0，0）处的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在M（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确；
②，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|_x=0=1，直线y=x是在点M（0，0）处的曲线的切线，
满足曲线C在M（0，0）附近位于直线y=x两侧，故命题②正确；
③，由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，则y′|_x=1=1，曲线在M（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，
g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点M附近位于直线l的两侧，故命题③错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用．