Question

2．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，G为线段AD上的任意一点．
（1）若M是线段EF的中点，证明：平面AMG⊥平面BDF；
（2）若N为线段EF上任意一点，设直线AN与平面ABF，平面BDF所成角分别是α，β，求$\frac{sinα}{sinβ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连结OF，OM，推导出AM⊥OF，DB⊥CA，从而DB⊥平面ACEF，进而DB⊥AM，AM⊥平面BDF，由此能证明平面AMG⊥平面BDF．
（2）分别以CD、CB、CE为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出$\frac{sinα}{sinβ}$的取值范围．

解答 证明：（1）设AC∩BD=O，连结OF，OM，
由已知得AO=1，AF=1，
∴四边形AFMO是正方形，∴AM⊥OF，
又∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，交线是CA，DB⊥CA，
∴DB⊥平面ACEF，又AM?平面ACEF，∴DB⊥AM，
∵BD∩OF=O，∴AM⊥平面BDF，
∵AM?平面AMG，∴平面AMG⊥平面BDF．
解：（2）∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，交线是CA，EC⊥CA，
∴EC⊥平面ABCD，∴CD、CB、CE两两垂直，
分别以CD、CB、CE为x，y，z轴建立坐标系，
则平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
由（1）得平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
由N为线段EF上任意一点，
设$\overrightarrow{EN}$=$λ\overrightarrow{EF}$=$λ\overrightarrow{CA}$=λ（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），（λ∈[0，1]），
∴$\overrightarrow{AN}$=（（λ-1）$\sqrt{2}$，（λ-1）$\sqrt{2}$，1），
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|（λ-1）•\sqrt{2}|}{\sqrt{4（λ-1）^{2}+1}}$=$\frac{（1-λ）\sqrt{2}}{\sqrt{4（λ-1）^{2}+1}}$，
∵λ∈[0，1]，∴$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{2（1-λ）}{3-2λ}$=1-$\frac{1}{3-2λ}$∈[0，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查两角的正弦值的取值范围的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．