Question

5．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=log₂（x+1），则使得f（2x）＜f（x-1）成立的x的取值范围为{x|x＜-1}．

Answer 1

分析 求出函数的解析式，结合函数奇偶性，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．

解答 解：定义在R上的奇函数f（x），则f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=log₂（x+1）为增函数，且此时f（x）＞0，
当x＜0，则-x＞0，此时f（-x）=log₂（-x+1）=-f（x），
即当x＜0时，f（x）=-log₂（-x+1），此时函数为增函数，且f（x）＜0，
综上f（x）在R为增函数，
则不等式f（2x）＜f（x-1）等价为2x＜x-1，即x＜-1，
故答案为：{x|x＜-1}．

点评 本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，判断函数的单调性是解决本题的关键．