Question

4．函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对?x∈R，f'（x）＞2，则f（log₂x）＜2log₂x+4的解集为（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-2x，由f′（x）＞2，得到g′（x）大于0，得到g（x）为增函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为增函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．

解答 解：设g（x）=f（x）-2x，则g′（x）=f′（x）-2，
∵对?x∈R，f'（x）＞2，
∴g′（x）＞0．
∴g（x）在定义域内单调递增，
∴f（log₂x）＜2log₂x+4?f（log₂x）-2log₂x＜4，
∵g（-1）=f（-1）-2×（-1）=4，
即g（log₂x）＜g（-1），
∴log₂x＜-1，得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
则f（log₂x）＜2log₂x+4的解集为（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．