Question

19．已知菱形ABCD中，∠A=$\frac{π}{3}$，AB=1，E为BC边上任一点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EC}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，再设设$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，（0≤λ≤1）E的坐标为（x，y），用λ表示x，y，再根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

解答 解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，
建立如图所示的坐标系，
∴B（1，0），A（0，0）
∵菱形ABCD中，∠A=$\frac{π}{3}$，AB=1，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BF=$\frac{1}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，（0≤λ≤1）E的坐标为（x，y），
∴（x-1，y）=λ（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴x=1+$\frac{1}{2}$λ，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EC}$=（1+$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）•（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）
=-λ²+$\frac{1}{2}λ$+$\frac{1}{2}$=-（λ-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{16}$，
故当λ=$\frac{1}{4}$时，有最大值，即为$\frac{9}{16}$，
故选：B

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及二次函数求最值，属于中档题．