Question

某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是

3

4

，

1

2

，

1

4

，且各阶段通过与否相互独立．
（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，直接求解P（A），P（B），P（C）．然后求解该选手在复赛阶段被淘汰的概率P=P（A

.

B

）．
（2）ξ可能取值为1，2，3．推出ξ的分布列，然后ξ的数学期望，ξ的方差．

解答： 解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P（A）=

3

4

，P（B）=

1

2

，P（C）=

1

4

…（2分）
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P=P（A

.

B

）=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

…（4分）
（2）ξ可能取值为1，2，3．…（5分）
P(ξ=1)=1-

3

4

=

1

4

，P(ξ=2)=

3

4

(1-

1

2

)=

3

8

，P(ξ=3)=

3

4

×

1

2

=

3

8

…（8分）

ξ	1	2	3
P	1 4	3 8	3 8

ξ的分布列为：…（9分）
ξ的数学期望为Eξ=1×

1

4

+2×

3

8

+3×

3

8

=

17

8

…（10分）
ξ的方差为Dξ=(1-

17

8

)2×

1

4

+(2-

17

8

)2×

3

8

+(3-

17

8

)2×

3

8

=

39

64

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列期望与方差的求法，考查分析问题解决问题的能力、