题目内容

已知函数f（x）=-
2a
x
+lnx-2
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．
（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线垂直的关系即可求出a的值．
（2）根据不等式恒成立，将不等式转化为求函数f（x）的最值，即可求出的取值范围．
解答： 解（1）∵f（x）=-
2a
x
+lnx-2，
∴f′（x）=
2a
x2
+
1
x
，∴f′（1）=2a+1，
又∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直
∴2a+1=-1   
∴a=-1．
（2）f（x）=-
2a
x
+lnx-2的定义域为（0，+∞），
∵对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a恒成立
∴f（x）min＞2a，
f′（x）=
2a
x2
+
1
x
=
x+2a
x2
，
当a≥0时，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，
此时x→0时，f（x）→-∞不合题意，
当a＜0时f（x）在（0，-2a）单调递减，在（-2a，+∞）单调递增
∴f（x）min=f（-2a）=ln（-2a）-1＞2a，
令g（x）=lnx+x-1则g（x）在（0，+∞）上单调递增且g（1）=0
∴-2a＞1，
综上a＜-
1
2
．
点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求出函数的最值，综合考查导数的应用．
练习册系列答案
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如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，其左右焦点为F1（-1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．
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1
8
的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过
1
2
，且他直到第二次测试才合格的概率为
9
32
，乙同学3次测试每次测试合格的概率均为
2
3
，每位同学参加的每次测试是否合格相互独立．
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A、-1B、0C、3D、-2
M=
x2+y2
+
x2+(y-1)2
+
(x-1)2+y2
+
(x-1)2+(y-1)2
，当x，y变化时M的最小值为
 
．
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A、45B、50C、55D、60
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3
4
，
1
2
，
1
4
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