Question

在四棱锥C-ABEF，底面ABEF是矩形，FA⊥平面ABC，D是棱AB的中点，点H在棱BE上，且AC=BC=

2

，AB=2，AF=3．
（1）设BH=λBE，若FH⊥平面DHC，求λ的值；
（2）在（1）的条件下，求当λ＞

1

2

时，二面角D-CF-H的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）过C作CG⊥平面ABC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立直角坐标系，利用FH⊥平面DHC，建立方程，即可求λ的值；
（2）求出平面DCF的一个法向量、平面HCF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求当λ＞

1

2

时，二面角D-CF-H的余弦值．

解答： 解：（1）∵AC²+BC²=AB²
∴∠ACB=90°
过C作CG⊥平面ABC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立直角坐标系，则A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（0，0，0），D（

2

2

，

2

2

，0），E（0，

2

，3），F（

2

，0，3），H（0，

2

，3λ）
∴

FH

=（-

2

，

2

，3λ-3），

CD

=（

2

2

，

2

2

，0），

CH

=（0，

2

，3λ）
若FH⊥平面DHC，则2+3λ（3λ-3）=0，∴⇒λ₁=

1

3

，λ₂=

2

3

（2）λ=

2

3

，即H（0，

2

，2），设平面DCF的一个法向量为（x，y，z），则
∵

CD

=（

2

2

，

2

2

，0），

CF

=（

2

，0，3），
∴

2 2 x+ 2 2 y=0 2 x+3z=0

∴取平面DCF的一个法向量为（1，-1，

2

3

）
同理可得平面HCF的一个法向量为（

3 2

2

，

2

，1）
∴二面角D-CF-H余弦值=

3 2 2 -2+ 2 3

1+1+ 2 9 • 9 2 +2+1

=

3

6

．

点评：本题考查线面垂直，考查二面角D-CF-H余弦值，正确建立坐标系，利用向量方法是关键．