题目内容
三棱锥A-BCD中，面ACD与面BCD均为正三角形，点E，F，G，H分别为BD，BC，AC，AD中点（1）证明：四边形EFGH为矩形；
（2）若二面角A-DC-B大小为60°，求直线EH与面BCD所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,棱锥的结构特征
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由已知得EFGH是平行四边形，取CD中点O，连结AO，BO，则CD⊥AB，EH⊥EF，由此能证明四边形EFGH为矩形．
（2）由已知得∠AOB=60°，EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，由此能求出EH与面BCD所成角的正弦．
（2）由已知得∠AOB=60°，EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，由此能求出EH与面BCD所成角的正弦．
解答：
（1）证明：∵三棱锥A-BCD中，面ACD与面BCD均为正三角形，
点E，F，G，H分别为BD，BC，AC，AD中点，
∴EF∥DC∥HG，且EF=
DC=HG，
∴EFGH是平行四边形，
取CD中点O，连结AO，BO，
∴DC⊥平面AOB，∴CD⊥AB，EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形．
（2）解：由（1）知∠AOB为二面角A-DC-B的平面角，∴∠AOB=60°，
∵AB∥EH，∴EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，
∵DC⊥平面AOB．∴AB在面BCD射影为BO，
∵AO=BO，∴∠ABO=60°，
∴EH与面BCD所成角的正弦为sin60°=
．
点E，F，G，H分别为BD，BC，AC，AD中点，
∴EF∥DC∥HG，且EF=
| 1 |
| 2 |
∴EFGH是平行四边形，
取CD中点O，连结AO，BO，
∴DC⊥平面AOB，∴CD⊥AB，EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形．
（2）解：由（1）知∠AOB为二面角A-DC-B的平面角，∴∠AOB=60°，
∵AB∥EH，∴EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，
∵DC⊥平面AOB．∴AB在面BCD射影为BO，
∵AO=BO，∴∠ABO=60°，
∴EH与面BCD所成角的正弦为sin60°=
| ||
| 2 |
点评：本题考查四边形为矩形的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
观察如图所示的四个几何体：（1）a是棱台；（2）b是圆台；（3）c是棱锥；（4）d不是棱柱．其中判断正确的是（ ）
| A、（1）（2） | B、（3）（4） |
| C、（3） | D、（4） |
椭圆G：