Question

某玩具厂所需成本为P元，且P与生产套数x的关系为P=1000+5x+

1

10

x²，而每套售出的价格为Q元，其中Q（x）=a+

x

b

（a，b∈R）．
（1）该玩具厂生产多少套玩具时每套所需成本最少？
（2）若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求常数a，b的值．（利润=销售收入-成本）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；
（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，结合二次函数的性质建立条件关系，即可求a，b的值

解答： 解：（1）由题意，每套玩具所需成本费用为

P

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

=

x

10

+

1000

x

+5≥2

x 10 • 1000 x

+5=2

100

+5=25，
当且仅当

x

10

=

1000

x

，
即x=100时，每套玩具所需成本费用最少为25元．
（2）利润y=xQ（x）-P=x（a+

x

b

）-（1000+5x+

1

10

x²）=（

1

b

-

1

10

）x²+（a-5）x-1000，
∵若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，
∴满足

5-a 2( 1 b - 1 10 ) =150 a+ 150 b =30

，
解得a=25，b=30．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键．