Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，左焦点到左准线的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁：y=k（x-1）（k＞0）交椭圆C于点A，B，且点A在第一象限内．直线l₁与直线l₂：x=6交于点D，直线l₃：x=1与椭圆C在第一象限内交于点M．
（1）求点A，B的坐标（用k表示）；
（2）求证：直线MA，MD，MB的斜率成等差数列．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆C的离心率以及左焦点F到左准线的距离，求出a、c的值，再求出b²即可得出椭圆C的方程；
（Ⅱ）（1）由直线l₁与椭圆C方程联立，求出方程组的解即可得A、B的坐标；
（2）由直线l₃与椭圆C组成方程组，求出M的坐标，直线l₁与直线l₂组成方程组，求出D的坐标，计算直线MD、MA与MB的斜率值，判断直线MA、MD、MB的斜率是否成等差数列即可．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C的离心率为e=

c

a

=

6

3

∴c=

6

3

a；
又∵左焦点F（-c，0）到左准线l：x=-

a2

c

的距离为1，
∴-c+

a2

c

=1，
即-

6

3

a+

3a

6

=1，
解得a=

6

，
∴c=2，
∴b²=a²-c²=2；
∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1；…（4分）
（Ⅱ）（1）根据题意，
由直线l₁与椭圆C方程联立，得

y=k(x-1) x2+3y2=6

，
解方程组，得A（

3k2+ 3(5k2+2)

1+3k2

，

k( 3(5k2+2) -1)

1+3k2

）；
B（

3k2- 3(5k2+2)

1+3k2

，

-k( 3(5k2+2) +1)

1+3k2

）；…（10分）
（2）由直线l₃与椭圆C组成方程组

x=1 x2+3y2=6

，
解得M（1，

5 3

）；…（11分）
由直线l₁与直线l₂组成方程组

y=k(x-1) x=6

，
解得D（6，5k），
∴直线MD的斜率是k_MD=

5k- 5 3

6-1

=k-

1

15

；…（12分）
直线MA的斜率是k_MA=

k( 3(5k2+2) -1) 1+3k2 - 5 3

3k2+ 3(5k2+2) 1+3k2 -1

=

k( 3(5k2+2) -1)- 5 3 (1+3k2)

3(5k2+2) -1

；
直线MB的斜率是k_MB=

-k( 3(5k2+2) +1) 1+3k2 - 5 3

3k2- 3(5k2+2) 1+3k2 -1

=

k( 3(5k2+2) +1)+ 5 3 (1+3k2)

3(5k2+2) +1

；
∵k_MA+k_MB
=

[k( 3(5k2+2) -1)- 5 3 (1+3k2)][ 3(5k2+2) +1]+[k( 3(5k2+2) +1)+ 5 3 (1+3k2)][ 3(5k2+2) -1]

3(5k2+2)-1

=

-2 5 3 (1+3k2)+2k(15k2+5)

15k2+5

=2k-

2

15

=2k_MD；
∴直线MA、MD、MB的斜率成等差数列．…（16分）

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了等差数列的应用问题，重点考查了计算能力，是较难的题目．