Question

已知圆心在y轴上的圆C经过点A（0，3）和B（4，1），过点M（-3，-3）的直线被截得弦长为4

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：求出圆的圆心与半径，设出直线方程，通过圆心到直线的距离、弦心距、半弦长满足勾股定理，即可求出直线方程．

解答： 解：圆心在y轴上的圆C经过点A（0，3）和B（4，1），
则AB的中垂线与y轴的交点就是圆C的圆心，AC的距离就是圆C的半径，
AB的中点（2，2），kAB=

1-3

4-0

=-

1

2

，
AB的中垂线的斜率为：2，中垂线方程为：y-2=2（x-2），
即2x-y-2=0．
x=0时，y=-2，圆C（0，-2），圆C的半径为：AC=5．
设过点M（-3，-3）的直线：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0．
过点M（-3，-3）的直线被截得弦长为4

5

，
∴圆心到直线的距离为：

|3k-1|

1+k2

=

52-(2 5 )2

=

5

，解得k=2或k=-

1

2

．
直线l的方程：2x-y+3=0或x+2y+9=0．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，圆的圆心与半径的求法，考查转化思想以及计算能力．