Question

设a∈R，函数y=lg（ax²-2x-2a）的定义域为A，不等式x²-4x+3＜0的解集为B，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,对数函数的定义域

专题：分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：设f（x）=ax²-2x-2a，求出不等式x²-4x+3＜0的解集B；
讨论（1）a=0时，f（x）＞0的解集为A，A∩B的情况；
（2）a＞0时，f（x）＞0的解集A与A∩B≠ϕ的条件，求出a的取值范围；
（3）a＜0时，f（x）＞0的解集A与A∩B≠φ的条件，求出a的取值范围．

解答： 解：设f（x）=ax²-2x-2a，
∵不等式x²-4x+3＜0的解集B={x|1＜x＜3}=（1，3）；
∴（1）当a=0时，f（x）=-2x＞0的解集为A=（-∞，0），故A∩B=ϕ；
（2）当a＞0时，∵f（0）=-2a＜0，此时抛物线开口向上，∴函数有两个零点且分别在y轴的两侧，
此时若要使A∩B≠ϕ，只需f（3）=9a-6-2a＞0即可，解之得，a＞

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；
（3）当a＜0时，∵f（0）=-2a＞0，此时抛物线开口向下，∴函数两个零点也分别在y轴的两侧，
要使A∩B≠φ，只需f（1）=a-2-2a＞0即可，解之得，a＜-2．
综上，a的取值范围是(-∞，-2)∪(

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，+∞)．

点评：本题考查了求一元二次不等式的解集的应用问题，解题时应结合函数的图象与性质，对字母进行讨论，是综合题目．