Question

已知二次函数f（x）=x²-2ax-a，（a∈R）
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）函数f（x）在[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）通过判别式判断函数f（x）的图象与x轴的位置关系，然后根据图象写出不等式的解；
（2）要使f（x）在[-1，1]上有零点，即x²-2ax-a=0在[-1，1]上有解，则只需求出a═

x2

2x+1

，x∈[-1，1]的值域，利用函数的性质，不难求出该函数的值域．

解答： 解：（1）对于不等式x²-2ax-a＞0，
△=（-2a）²+4a=4a²+4a，
①当△＜0即-1＜a＜0时，不等式的解为R；
②当△=0即a=-1或a=0时，
若a=-1，原不等式的解为x∈R且x≠-1，
若a=0，原不等式的解为x∈R且x≠0；
③当△＞0即a＜-1或a＞0时，由x²-2ax-a=0得x_1，2=a+

a2+a

或a-

a2+a

，
此时不等式的解为x＜a-

a2+a

或x＞a+

a2+a

，
综上，当-1＜a＜0时，不等式的解为R；
当a＜-1或a＞0时，不等式的解为x＜a-

a2+a

或x＞a+

a2+a

；
当a=-1，原不等式的解为x∈R且x≠-1；
当a=0，原不等式的解为x∈R且x≠0．
（2）要使f（x）在[-1，1]上有零点，只需x²-2ax-a=0在[-1，1]上有解，
将方程变形为a═

x2

2x+1

，x∈[-1，1]且x≠-

1

2

，
∴a′（x）=

2x2+2x

(2x+1)2

=

2x(x+1)

(2x+1)2

，
当-1＜x＜-

1

2

，或-

1

2

＜x＜0时，a′（x）＜0，∴a（x）在（-1，-

1

2

)和（-

1

2

，0）上是减函数；
当0＜x＜1时，a′（x）＞0，∴a（x）在（0，1）上是增函数；
而a（1）=

1

3

，a（0）=0，a（-1）=-1，且当x→-

1

2

时，a（x）→-∞（当x＜-

1

2

时）或+∞（当x＞-

1

2

时），
∴a的范围是（-∞，-1]∪[0，+∞）．

点评：本题的第二问是一个方程在指定区间上的根的存在性问题，一般可先分离参数，构造参数关于自变量的函数，然后求该函数在指定区间上的函数值域．