Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-4，且使其导函数f′（x）＞0的x的取值范围为（1，3）．求：
（1）f（x）的解析式；
（2）f（x）的极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的概念及应用

分析：（1）导数f′（x）＞0的x的取值范围（1，3）得到1和3分别为函数的极小值和极大值点即f′（1）=0且f′（3）=0，且有f（1）=-4，三者联立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式，
（2）由（1）得x=3是极大值点，从而可得f（x）的极大值；

解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=3ax²+2bx+c，依题意有a＞0，且1，3分别为f（x）的极小值，极大值点，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0

，
∴

a=-1 b=6 c=-9

，
∴f（x）=-x³+6x²-9x；
（2）由（1）得x=3是极大值点，
∴f（x）_极大值=f（3）=0．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，求函数的表达式，是一道基础题．