Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知c•cosB+（b-2a）cosC=0
（1）求角C的大小
（2）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简可得答案．
（2）根据（1）中C的大小，利用余弦定理求出ab的值可得△ABC的面积

解答 解：（1）∵c•cosB+（b-2a）cosC=0，
由正弦定理化简可得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，即sinA=2sinAcosC，
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0．
∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知：C=$\frac{π}{3}$．
∵c=2，a+b=ab，即a²b²=a²+b²+2ab．
由余弦定理cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴ab=（ab）²-2ab-c²．
可得：ab=4．
那么：△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．