Question

9．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，圆C的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}}\right.$（其中θ为参数）．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若椭圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆C的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离，由此得到直线l与圆C相离．
（2）将椭圆的参数方程化为普通方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，求出直线l'的参数方程，把直线l'的参数方程代入椭圆的普通方程，得7t²-16$\sqrt{2}$t+8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出|AB|．

解答 解：（1）将直线l的极坐标方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，化为直角坐标方程：x+y-1=0．
将圆C的参数方程化为普通方程：x²+（y+2）²=4，圆心为C（0，-2），半径r=2．
∴圆心C到直线l的距离为d=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$＞r=2，
∴直线l与圆C相离．（5分）
（2）将椭圆的参数方程化为普通方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
∵直线l：x+y-1=0的斜率为k₁=-1，
∴直线l'的斜率为k₂=1，即倾斜角为$\frac{π}{4}$，
则直线l'的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{4}}\\{y=-2+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，（t为参数），
即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
把直线l'的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
整理得7t²-16$\sqrt{2}$t+8=0．（*）
由于△=（-16$\sqrt{2}$）²-4×7×8＞0，
故可设t₁，t₂是方程（*）的两个不等实根，则有t₁t₂=$\frac{8}{7}$，${t_1}+{t_2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{7}$，
|AB|=${\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}^{\;}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$．（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查弦长的求法，涉及到圆、直线方程、根的判别式、韦达定理和参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．