Question

已知函数f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）．
（1）若对任意x∈R，不等式f（2^x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（2）讨论函数f（x）零点的个数．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数零点的判定定理

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）f（2^x）＞0恒成立?2^x+

m

2x

-1＞0（x≠0）恒成立?m＞2^x（1-2^x）（x≠0）恒成立，构造函数g（x）=2^x（1-2^x）（x≠0），利用基本不等式（或配方法）可求得m的取值范围；
（2）当x＞0时，由f（x）=x+

m

x

-1=0得：m=x（1-x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

；同理可得，当x＜0时，m=x（1+x）=（x+

1

2

）²-

1

4

，在在同一直角坐标系中作出函数y=m与函数y=|x|（x-1）的图象，借助图象即可求得函数f（x）零点的个数．

解答： 解：（1）f（2^x）＞0恒成立?2^x+

m

2x

-1＞0（x≠0）恒成立?m＞2^x（1-2^x）（x≠0）恒成立，
令g（x）=2^x（1-2^x）（x≠0），
则m＞g（x）_max，
因为g（x）=2^x（1-2^x）≤（

2x+(1-2x)

2

）²=

1

4

（当且仅当x=-1时取“=”），
∴g（x）_max=

1

4

，
∴m＞

1

4

；
（2）当x＞0时，由f（x）=x+

m

x

-1=0得：m=x（1-x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

，
当x＜0时，由f（x）=-x+

m

x

-1=0得：m=x（1+x）=（x+

1

2

）²-

1

4

，
在同一直角坐标系中作出函数y=m与函数y=|x|（x-1）的图象，

由图象知，当m＜-

1

4

或m＞

1

4

时，函数f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）有一个零点；
当m=±

1

4

或m=0时，函数f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）有两个零点；
当-

1

4

＜m＜0或0＜m＜

1

4

时，函数f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）有三个零点．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数零点的判定定理的应用，作图是关键，也是难点，着重考查等价转化思想与数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．