题目内容
已知：
、
、
是同一平面内的三个向量，其中
=（1，2）
（1）若|
|=2
，且
∥
，求
的坐标；
（2）若|
|=
，且
+2
与2
-
垂直，求
与
的夹角θ；
（3）若
=（1，1），且
与
+λ
的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
| a |
| b |
| c |
| a |
（1）若|
| c |
| 5 |
| c |
| a |
| c |
（2）若|
| b |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）若
| b |
| a |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示
专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：（1）运用向量共线的坐标表示和向量的模的公式，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的夹角公式，计算即可得到；
（3）运用向量的夹角为锐角的等价条件：数量积大于0，且不共线，计算即可得到范围．
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的夹角公式，计算即可得到；
（3）运用向量的夹角为锐角的等价条件：数量积大于0，且不共线，计算即可得到范围．
解答：
解：（1）设
=(x，y)，由
∥
和|
|=2
可得：
解得，
或
，
∴
=(2 ， 4)，或
=(-2 ，-4)；
（2）由(
+2
)⊥(2
-
)得，(
+2
)•(2
-
)=0，
即，2
2+3
•
-2
2=0，
2|
|2+3
•
-2|
|2=0，即有2×5+3
•
-2×
=0，
所以
•
=-
；
得cosθ=
=-1，
由 θ∈[0，π]，得，θ=π；
（3）
=(1 ， 2)⇒
+λ
=(λ+1 ， λ+2)，
由
与
+λ
的夹角为锐角，得
•(
+λ
)＞0，λ+1+2λ+4＞0⇒λ＞-
，
若
∥
+λ
，得λ=0，
所以，λ∈(-
， 0)∪(0 ， +∞)．
| c |
| c |
| a |
| c |
| 5 |
可得：
|
|
|
∴
| c |
| c |
（2）由(
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即，2
| a |
| a |
| b |
| b |
2|
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| 5 |
| 4 |
所以
| a |
| b |
| 5 |
| 2 |
得cosθ=
| ||||
|
|
由 θ∈[0，π]，得，θ=π；
（3）
| a |
| a |
| b |
由
| a |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| 5 |
| 3 |
若
| a |
| a |
| b |
所以，λ∈(-
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量共线的坐标表示，考查向量的夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．
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