Question

已知f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：分类讨论,换元法,函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法求出f（x）的解析式；
（2）讨论a的取值，求出f（x）的值域来．

解答： 解：（1）∵f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
设t=log₂x，则x=2^t，
∴f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a
=a•2^2t-2^t+1+1-a，
即f（x）=a•2^2x-2^x+1+1-a；
（2）∵f（x）=a•2^2x-2^x+1+1-a；
当a=0时，f（x）=-2^x+1+1＜1；
当a≠0时，f（x）=a（2^2x-

2

a

•2^x+

1

a2

）-

1

a

+1-a
=a(2x-

1

a

)2-

a2-a+1

a

；
若a＞0，令2^x=

1

a

，∴f（x）≥-

a2-a+1

a

；
若a＜0，则2^x＞0，∴f（x）＜a•(-

1

a

)2-

a2-a+1

a

=-a+1；
∴a=0，f（x）的值域是（-∞，1），
a＞0时，f（x）的值域是[-

a2-a+1

a

，+∞），
a＜0时，f（x）的值域是（-∞，-a+1）．

点评：本题考查了用换元法求函数解析式的问题，也考查了分类讨论求函数值域的问题，是综合题目．