Question

圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x-7y+8=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出AB的垂直平分线m的方程为，利用圆心是直线m与直线l的交点，可得圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）利用代入法，求线段PQ中点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）直线AB的斜率k=

5-0

1-6

=-1，
所以AB的垂直平分线m的斜率为1．---------------------------（2分）
AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=

6+1

2

=

7

2

，y=

0+5

2

=

5

2

．
因此，直线m的方程为y-

5

2

=1(x-

7

2

)．即x-y-1=0．--------------------（4分）
又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点．联立方程组

x-y-1=0 2x-7y+8=0

解得

x=3 y=2

--------------------------（6分）
所以圆心坐标为C（3，2），又半径r=|CA|=

13

，
则所求圆的方程是（x-3）²+（y-2）²=13．----------------------------（8分）
（2）设线段PQ的中点M（x，y），P（x₀，y₀）
M为线段PQ的中点，则

x0+8 2 =x y0+0 2 =y

，-----------------------------（9分）
解得

x0=2x-8 y0=2y

．P（2x-8，2y）代入圆C中得（2x-8-3）²+（2y-2）²=13，
即线段PQ中点M的轨迹方程为(x-

11

2

)2+(y-1)2=

13

4

．-----------（12分）

点评：本题考查圆的方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．