题目内容
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥BC，AD∥BC，AA1=BC=2，AB=| 2 |
（Ⅰ）求证：EF∥AD；
（Ⅱ）求证：AB1⊥平面BCEF；
（Ⅲ）求B1C与平面BCEF所成的角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定
专题：空间角
分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得到BC∥平面ADD1A1，由此能证明EF∥AD．
（Ⅱ）由已知条件推导出BC⊥平面AA1B1 B，从而得到BC⊥AB1 ，由此能证明AB1⊥平面BCEF．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，AB1⊥平面BCEF，设AB1∩BF=H，连接CH，∠B1CH是B1C与平面BCEF所成的角，由此能求出B1C与平面BCEF所成的角的正弦值．
（Ⅱ）由已知条件推导出BC⊥平面AA1B1 B，从而得到BC⊥AB1 ，由此能证明AB1⊥平面BCEF．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，AB1⊥平面BCEF，设AB1∩BF=H，连接CH，∠B1CH是B1C与平面BCEF所成的角，由此能求出B1C与平面BCEF所成的角的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，AD?平面ADD1A1，
BC不包含于平面ADD1A1，∴BC∥平面ADD1A1，
BC?面BCEF，面ADD1A1∩面BCEF=EF，
∴BC∥EF，又AD∥BC，∴EF∥AD．
（Ⅱ）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，
∴AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB=A，
∴BC⊥平面AA1B1 B，∴BC⊥AB1 ，
∵
=
，
=
，
=
，
∴Rt△BAF∽Rt△B1BA，∴∠ABF=∠AB1B，
∴∠ABF+∠BA B1=∠AB1B+∠BAB1=90°，
∴AB1⊥BF，BC∩BF=B，∴AB1⊥平面BCEF．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，AB1⊥平面BCEF，设AB1∩BF=H，连接CH，
则∠B1CH是B1C与平面BCEF所成的角，
B1C=
=2
，
B1H=BB1•cos∠BB1H=BB1•cos∠BB1A=BB1•
=
，
∴sin∠B1CH=
=
=
．
∴B1C与平面BCEF所成的角的正弦值是
．
BC不包含于平面ADD1A1，∴BC∥平面ADD1A1，
BC?面BCEF，面ADD1A1∩面BCEF=EF，
∴BC∥EF，又AD∥BC，∴EF∥AD．
（Ⅱ）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，
∴AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB=A，
∴BC⊥平面AA1B1 B，∴BC⊥AB1 ，
∵
| AF |
| AB |
| 1 | ||
|
| AB |
| BB1 |
| ||
| 2 |
| AF |
| AB |
| AB |
| BB1 |
∴Rt△BAF∽Rt△B1BA，∴∠ABF=∠AB1B，
∴∠ABF+∠BA B1=∠AB1B+∠BAB1=90°，
∴AB1⊥BF，BC∩BF=B，∴AB1⊥平面BCEF．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，AB1⊥平面BCEF，设AB1∩BF=H，连接CH，
则∠B1CH是B1C与平面BCEF所成的角，
B1C=
| BC2+BB12 |
| 2 |
B1H=BB1•cos∠BB1H=BB1•cos∠BB1A=BB1•
| BB1 |
| AB1 |
| 4 | ||
|
∴sin∠B1CH=
| B1H |
| B1C |
| 4 | ||||
2
|
| ||
| 3 |
∴B1C与平面BCEF所成的角的正弦值是
| ||
| 3 |
点评：本题考查直线与直线平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．
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已知a=log23，b=8-0.4，c=sin
π，则a，b，c的大小关系是（ ）
| 12 |
| 5 |
| A、a＞b＞c |
| B、a＞c＞b |
| C、b＞a＞c |
| D、c＞b＞a |
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E，F分别是AC，AB CB上的点，且DE∥BC，DE=2，CF=1，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使AC⊥CD，如图2．
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