Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax²（a≥0），l是曲线y=g（x）的一条切线，证明：曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）求证：（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]＜e（其中e为自然对数的底数，n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求出函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），构造h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）]，求出h（x）在x=x₀处取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，从而得出结论；
（Ⅲ）先证明当x＞-1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，取对数，利用

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），结合裂项求和，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-1，+∞），
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=-

x

x+1

，
∴-1＜x＜0，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞0，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），g（x）=ln（x+1）-ax²-x，
设M（x₀，y₀）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），
即y=（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+g（x₀）
令h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+g（x₀）]，则
h′（x）=

1

x+1

-2ax-1-（

1

x0+1

-2ax₀-1），
∵h′（x₀）=0，
∴h′（x）在（-1，+∞）上是减函数，
∴h（x）在（-1，x₀）上是增函数，在（x₀，+∞）上是减函数，
∴h（x）在x=x₀处取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，
∴曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知ln（x+1）≤x在（-1，+∞）是恒成立，当且仅当x=0时，等号成立，
故当x＞-1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，
∵

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），
∴ln{（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+…+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]=2（

1

2

-

1

2n+1

）=1-

2

2n+1

＜1，
∴（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]＜e．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，难度大．