Question

如图四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=

2

．
（1）证明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求二面角A-BC-B′的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出A′BCD′是平行四边形，从而得到A′B∥面B′CD′，由此能够证明平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）过O作OM⊥AD于M，连结A′M，由已知条件推导出∠A′MO为A′-AD-B的平面角，由此能求出二面角A-BC-B′的余弦值．

解答： （1）证明：在四棱柱中，
∵BC∥A′D′，且BC=A′D′，
∴A′BCD′是平行四边形，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B不包含于平面B′CD′，CD′?B′CD′，
∴A′B∥面B′CD′，
又A′B?面A′BD，A′D?面A′BD，且A′B∩A′D=A′，
∴平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）解：∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，
∴二面角A-BC-B′与二面角A′-AD-B互补，
∵A′Q=1，AB=AA′=A′D=

2

，
∴A′ Q2 +OA²=AA^'2，A′O²+OB²=A′B²，
∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，
∴A′O⊥平面ABCD，
∴过O作OM⊥AD于M，连结A′M，
∴A′M⊥AD，∠A′MO为A′-AD-B的平面角，
cos∠A′MO=

OM

A′M

=

3

3

，
∴二面角A-BC-B′的余弦值为-

3

3

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．