Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E，F分别是AC，AB CB上的点，且DE∥BC，DE=2，CF=1，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使AC⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁E的中点，求CM与平面A₁BE所成角的正弦值；
（3）试问线段A₁C上是否存在点P，使平面FDP∥平面A₁BE？请你说明理由．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明DE⊥平面A₁CD，可得A₁C⊥DE，利用A₁C⊥CD，CD∩DE=D，即可证明A₁C⊥平面BCDE；
（2）建立坐标系，求出平面A₁BE的法向量，

CM

，利用向量的夹角公式，即可求CM与平面A₁BE所成角的正弦值；
（3）利用面面平行的判定定理，我们可以得出结论．

解答： （1）证明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD．
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE．
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BCDE；
（2）解：建立如图所示的坐标系，AC=2

3

，
则D（-2，0，0），A₁（0，0，2

3

），E（-2，2，0），
∴

AB

=（0，3，-2

3

），

A1E

=（-2，2，-2

3

），
设平面A₁BE的法向量为

n

=（x，y，z），则

3y-2 3 z=0 -2x+2y-2 3 z=0

，
∴取

n

=（-1，2，

3

）
∵M（-1，1，

3

），
∴

CM

=（-1，1，

3

），
设CM与平面A₁BE所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

CM

，

n

＞|=

6

8 • 5

=

3 10

10

，
∴CM与平面A₁BE所成角的正弦值为

3 10

10

；
（3）解：连接DF，则
∵DE∥FB，DE=FB，
∴四边形FBED为平行四边形，
∴DF∥EB，
∵EB?平面A₁BE，DF?平面A₁BE，
∴DF∥平面A₁BE，
过F作FP∥A₁B交A₁C于P，同理FP∥平面A₁BE，
∵FP∩DF=F，
∴平面FDP∥平面A₁BE，
∴线段A₁C上存在点P，使平面FDP∥平面A₁BE．

点评：本题考查向量知识的运用，考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．