Question

设函数f（x）=x³-3x²+5x，{a_n}为公差不为0的等差数列，若a₁+a₂+…+a₁₀=10，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=

 

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Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由等差数列的性质可得a₁+a₁₀=a₂+a₉=…=a₅+a₆=2，进而可得f（a₁）+f（a₁₀）为定值6，同理可得f（a₂）+f（a₉）=f（a₃）+f（a₈）=…f（a₅）+f（a₆）=6，进而可得答案．

解答： 解：∵等差数列中a₁+a₂+…+a₁₀=10，
∴由等差数列的性质可得a₁+a₁₀=a₂+a₉=…=a₅+a₆=2，
∴f（a₁）+f（a₁₀）=a13+a103-3（a12+a102）+5（a₁+a₁₀）
=（a₁+a₁₀）（a12+a102-a1a10）-3（a12+a102）+5（a₁+a₁₀）
=2（a12+a102-a1a10）-3（a12+a102）+5×2
=-（a12+a102）-2a₁a₁₀+10
=-（a₁+a₁₀）²+2a₁a₁₀-2a₁a₁₀+10
=-4+10=6
同理可得f（a₂）+f（a₉）=f（a₃）+f（a₈）=…f（a₅）+f（a₆）=6，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=5×6=30，
故答案为：30

点评：本题考查等差数列的性质，涉及立方和公式的应用，得出f（a₂）+f（a₉）=f（a₃）+f（a₈）=…f（a₅）+f（a₆）=6是解决问题的关键，属中档题．