Question

讨论函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：f（x₁）-f（x₂）=a^x1-a^-x1-a^x2+a^-x2=（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

），当a＞1时，当0＜a＜1时分类讨论判断符号即可，得出单调性的结论．

解答： 解：函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）
∵设x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=a^x1-a^-x1-a^x2+a^-x2=（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

），
∵a x1+x2＞0，∴1+

1

ax1+x2

＞0，
∵，a x1＞ax2，
∴（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴当a＞1时，函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的单调递增，
∵当0＜a＜1时，a x1＜a x2，
∴（a x1-ax2）（1+

1

ax1+x2

）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的单调递减．

点评：本题考查了函数的单调性的证明，分类讨论，判断因式的符号问题，关键是分解因式，属于中档题．