Question

已知M（3，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，F为焦点，|MF|=5．
（1）求m的值和抛物线c的方程；
（2）求抛物线C上的点P到直线l：x-y+5=0的距离的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,点到直线的距离公式

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得：抛物线焦点为F（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

，因为点M（3，m）到其焦点的距离为5，所以点M到抛物线的准线的距离为：3+

p

2

=5，从而得到p=4，得到该抛物线的方程，进而得到m的值．
（2）设P（x，y），求出P到直线x-y+5=0距离，利用配方法求最值．

解答： 解：（1）∵抛物线方程为y²=2px
∴抛物线焦点为F（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

，
∵点M（3，m）到其焦点的距离为5，
∴p＞0，根据抛物线的定义，得3+

p

2

=5，
∴p=4，所以抛物线方程为y²=8x
当x=3时，m=±2

6

．
（2）设P（x，y），则P到直线x-y+5=0距离为d=

|x-y+5|

2

=

| 1 8 y2-y+5|

2

=

| 1 8 (y-4)2+3|

2

，
∴y=4时，P到直线x-y+5=0距离的最小值为

3

2

=

3 2

2

．

点评：本题给出一个特殊的抛物线，在已知其上一点到焦点距离的情况下，求准线方程．着重考查了抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的基本概念，属于基础题．