Question

已知函数f（x）=|1-

1

x

|，（x＞0）．
（1）判断函数的单调性；
（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]？若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用基本初等函数的单调性来判断；
（2）结合a，b的范围以及给的函数式，将f（a）=f（b）表示出来，即可得到所求的值；
（3）首先函数是单调函数，同时满足f（a）=b，f（b）=a，或f（a）=a，f（b）=b据此求解．

解答： 解：（I）∵x＞0，∴f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

．
即

1

a

+

1

b

=2．
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=f（x）=|1-

1

x

|的定义域、值域都是[a，b]，则a＞0
而f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

；
①当a，b∈（0，1）时，f（x）=

1

x

-1在（0，1）上为减函数．
故 

f(a)=b f(b)=a

  即  

1 a -1=b 1 b -1=a

解得  a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
②当a，b∈[1，+∞）时，f（x）=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函数．
故

f(a)=a f(b)=b

     即  

1- 1 a =a 1- 1 b =b

．
此时a，b是方程 x²-x+1=0的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a，b．
③当 a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．

点评：本题综合考查了函数单调性与函数值域间的关系，要注意结合1函数图象仔细分析．