Question

已知函数f（x）=2^x+2^-x．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调增区间，并证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f（x）定义域为R，然后求f（-x）=f（x），所以得出f（x）为偶函数；
（2）求f′（x），然后找使f′（x）≥0的x所在区间，即找到了f（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
（2）f′（x）=2^xln2-2^-xln2=ln2（2^x-2^-x）；
2^x≥2^-x，即x≥-x，x≥0时，f′（x）≥0；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，[0，+∞）是f（x）的单调递增区间．

点评：考查奇偶函数的定义，以及根据定义判断奇偶函数的过程，函数导数符号和函数单调性的关系，指数函数的单调性．