Question

如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙壁AC上，∠ABC=60°，若AB滑动至DE位置，
且AD=(

3

-

2

) 米，问木棒AB中点O所经过的路程为

 

米．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CO=

1

2

AB=

1

2

DE=CO′，即O运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△ACB中，根据直角三角形三边的关系得到∠ACO=30°，CA=

3

，则易求出CD=CA-DA=

2

，即可得到△DCE为等腰直角三角形，得到∠DEC=45°，则∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，然后根据弧长公式计算即可．

解答： 解：连接CO、CO′，如图，

∵CA⊥CB，O为AB中点，O′为DE的中点，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

DE=CO′，
∵AB=2，
∴CO=1，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点O到C的距离始终为定长1，
∴O运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACO=30°，CA=

3

，
∵AD=

3

-

2

，
CD=CA-AD=

3

-(

3

-

2

)=

2

，
∴sin∠DEC=

CD

DE

=

2

2

，
∴∠DEC=45°，
∴∠DCO′=45°
∴∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，
∴弧OO′的长=

15π

180

=

π

12

，
即O点运动到O′所经过路线OO′的长为

π

12

．

点评：本题考查了动点的运动轨迹问题，解答的关键是明确AB中点在以C为圆心的圆弧上运动，考查了弧长公式及直角三角形中的边角关系，是中档题．