Question

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2014型增函数”，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由题意结合奇函数的性质可得f（x）的解析式，再利用新定义对x分类讨论，结合绝对值的意义综合可得．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，
设x＜0，则-x＞0．∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
又由奇函数的性质可得f（0）=0．
∴f(x)=

|x-a|-2a，x＞0 0，x=0 -|x+a|+2a，x＜0

，
又∵f（x）为R上的“2014型增函数”，
∴当x＞0时，|x+2014-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2014-a|＞|x-a|恒成立，
式子|x+2014-a|＞|x-a|的几何意义为数轴上到点a的距离小于到点a-2014的距离，
又x＞0，∴a+a-2014＜0，解得a＜1007；
当x＜0＜x+2014时，|x+2014-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+2014-a|+|x+a|＞4a恒成立，
∴根据几何意义得|2a-2014|＞4a，即a＜

1007

3

；
当x＜x+2014＜0时，-|x+2014+a|+2a＞-|x+a|+2a，即|x+2014+a|＜|x+a|恒成立，
∴-a-a-2014＞0，即a＜1007．
综上知：实数a的取值范围为a＜

1007

3

故答案为：a＜

1007

3

点评：本题考查奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属中档题．