Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^5-n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n+k，设c_n=

bn，an≤bn an，an＞bn

若在数列{c_n}中，c₅≤c_n对任意n∈N^*恒成立，则实数k的取值范围是

 

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Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：若c₅=a₅，则b₆≥a₅，a₅＞b₅，b₆≥a₅，由此推导出-5≤k＜-4；若c₅=b₅，则b₅≥a₅，b₅≥a₅，a₄≥b₅，由此推导出-5≤k≤-3．由此能求出实数k的取值范围．

解答： 解：若c₅=a₅，则a₅＞b₅，则前面不会有b_n的项，
∵{b_n}递增，{a_n}递减，∴b_i（i=1，2，3，4）＜b₅＜a₅＜a_i（i=1，2，3，4），
∵a_n递减，∴当n≥6时，必有c_n≠a_n，即c_n=b_n，
此时应有b₆≥a₅，∴a₅＞b₅，即2⁰＞5+k，得k＜-4，
b₆≥a₅，即6+k≥1，得k≥-5，
∴-5≤k＜-4．
若c₅=b₅，则b₅≥a₅，同理，前面不能有b_n项，
即a₄≥b₅＞b₄，当n≥6时，∵{b_n}递增，{a_n}递减，
∴b_n＞b₅≥a₅＞a_n（n≥6），
∴当n≥6时，c_n=b_n．由b₅≥a₅，即5+k≥1，得，k≥-4，
由a₄≥b₅，得2≥5+k，得k≤-3，即-4≤k≤-3．
综上得，-5≤k≤-3．
∴实数k的取值范围是[-5，-3]．
故答案为：[-5，-3]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质的灵活运用．