Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且

an

2

，

Sn 2

，

an+1

2

数列n（∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

2n

数列{b_n}中是否存在正整数对（m，n），当m＜n时使得{b_n}中的三项b₁，b_m，b_n ，成等差数列．若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

an

2

，

Sn 2

，

an+1

2

成等比数列，利用等比数列的定义可得

Sn

2

=

an

2

×

an+1

2

，化为2Sn=

a

2 n

+an．
当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）由（1）可得b_n=

an

2n

=

n

2n

，设数列{b_n}中存在正整数对（m，n），当m＜n时使得{b_n}中的三项b₁，b_m，b_n ，成等差数列．则2b_m=b₁+b_n．对m分类讨论，m=2或3时直接验证，当m≥4时，f（m+1）-f（m）＜0，可得f(m)=

2m

2m

单调递减，进而得出结论．

解答： 解：（1）∵

an

2

，

Sn 2

，

an+1

2

成等比数列，
∴

Sn

2

=

an

2

×

an+1

2

，化为2Sn=

a

2 n

+an．
当n=1时，2a1=

a

2 1

+a1，且a₁＞0，解得a₁=1．
当n＞2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=(

a

2 n

+an)-(

a

2 n-1

+an-1)，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）由（1）可得b_n=

an

2n

=

n

2n

，
设数列{b_n}中存在正整数对（m，n），当m＜n时使得{b_n}中的三项b₁，b_m，b_n ，成等差数列．
则2b_m=b₁+b_n，∴

2m

2m

=

1

2

+

n

2n

（m＞1）．
当m=2时，

4

4

=

1

2

+

n

2n

，解得n=1或2，都舍去．
当m=3时，

2×3

23

=

1

2

+

n

2n

，化为

n

2n

=

1

4

，解得n=4符合条件．
当m≥4时，f（m+1）-f（m）=

2(m+1)

2m+1

-

2m

2m

=

2-2m

2m+1

＜0，
∴f(m)=

2m

2m

单调递减，
∴f(m)≤

2×4

24

=

1

2

，∴

n

2n

≤0，不符合题意．
综上可知：存在唯一符合题意的正整数对（3，4）．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式、递推数列的意义、反证法、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．