Question

设函数f（x）=x²+|x-1|+2a，a∈R．
（1）若方程f（x）=3x在（1，2）上有根，求a的取值范围；
（2）设g（x）=log₂（-4^x+a+1），若对任意的x₁、x₂∈（0，2），都有g（x₁）＜f（x₂）+

21

4

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得函数h（x）=f（x）-3x=x²+|x-1|-3x+2a 在（1，2）上有零点，h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，由此求得a的范围．
（2）由g（x）的单调性可得g（x）＜g（0）=log₂（-4^a+1），求得f（x）的最小值为f（

1

2

）=2a+

3

4

，可得log₂（-4^a+1）≤2a+

3

4

+

21

4

=log₂2^2a+6，即 7•2^2a≥1，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）∵方程f（x）=3x在（1，2）上有根，∴函数h（x）=f（x）-3x=x²+|x-1|-3x+2a 在（1，2）上有零点．
由于在（1，2）上，h（x）=f（x）-3x=x² -2x+2a-1是增函数，故有h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，
求得

1

2

＜a＜1．
（2）g（x）=log₂（-4^x+a+1）在（0，2）上是减函数，故g（x）＜g（0）=log₂（-4^a+1）．
而在（0，2）上，f（x）=

x2-x+2a+1，0＜x＜1 x2+x+2a-1，1≤x＜2

，∴f（x）的最小值为f（

1

2

）=2a+

3

4

，
由题意可得，log₂（-4^a+1）≤2a+

3

4

+

21

4

=2a+6=log₂2^2a+6，∴1-2^2a≤2^2a+6，即 7•2^2a≥1，
即 2a≥log2

1

7

，求得 a≥

1

2

log2

1

7

=-

1

2

log₂7，即a的范围为[-

1

2

log₂7，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，函数的恒成立问题，属于中档题．