Question

已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1，若对于x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）a=0时，函数是一次函数，成立；（2）a≠0时，通过讨论当1+

1

2a

≤-1，当-1≤1+

1

2a

≤0，当0＜1+

1

2a

≤1的情况，结合函数的单调性，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=-x+1，f（x）在[-1，1]递减，
∴f（x）_min=f（1）=0，∴a=0时成立，
（2）a≠0时，f（x）是二次函数，
∴f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1=[ax-（a+1）]（x-1），
函数过定点（1，0），对称轴x=

2a+1

2a

，
①当a＞0时，对称轴x=

2a+1

2a

=1+

1

2a

＞1，
∴f（x）在[-1，1]递减，f（x）_min=f（1）=0，成立，
②当a＜0时，对称轴x=

2a+1

2a

=1+

1

2a

＜1，
当1+

1

2a

≤-1，即：-

1

4

≤a＜0时，
f（x）在[-1，1]递减，f（x）_min=f（1）=0，成立，
当-1≤1+

1

2a

≤0，即-

1

2

≤a≤-

1

4

时，
f（x）_min=f（1）=0，成立，
当0＜1+

1

2a

≤1，即a≤-

1

2

时，
f（x）_min=f（-1）=4a+2≥0，解得：a=-

1

2

，
综上：a≥-

1

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道中档题．