Question

已知过点M（a，0）（a＞0）的动直线l交抛物线y²=4x于A、B两点，点N与点M关于y轴对称，
（1）当a=1时，求证：∠ANM=∠BNM；
（2）对于给定的正数a，是否存在直线l′：x=m，使得l′被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线l′的方程，如果不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设l：x-1=ny，代入y²=4x得y²-4ny-4=0，根据韦达定理，表示出NB和NA斜率，求得斜率互为相反数，故∠ANM=∠BNM；
（2）假设满足条件的直线l存在，直线l'被圆O'截得的弦为EF，求出|EF|，分类讨论，即可得出结论．

解答： （1）证明：设l：x-1=ny，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入y²=4x得y²-4ny-4=0，
∴y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4
∴k_AN+k_BN=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

( y1y2 4 +1)(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=0，
∴∠ANM=∠BNM．
（2）解：设点A（x，y），则以AM为直径的圆的圆心为O（

x+a

2

，

1

2

），
假设满足条件的直线l存在，直线l'被圆O'截得的弦为EF，
则|EF|²=4[（

x+a

2

-a）²+

y2

4

-（m-

x+a

2

）²]
=x²-2ax+a²+4x-4m²+4m（x+a）-x²-2ax-a²
=（4m-4a+4）x+4ma-4m²
弦长|EF|为定值，则4m-4a+4=0，即m=a-1，
此时|EF|²=4m（a-m）=4（a-1），
所以当a＞1时，存在直线l：x=a-1，截得的弦长为2

a-1

当0＜a≤1时，不存在满足条件的直线l'．

点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．