Question

如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P（1，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=

1

2

x上时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：先求出OA、OB所在的直线方程，对AB的斜率分类讨论，分别与射线OA、OB联立，求出A、B点坐标，利用中点坐标公式求出C坐标，代入直线y=

1

2

x求出斜率求出，代入点斜式方程化简即可．

解答： 解：因为射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，
所以OA、OB所在的直线方程分别是：x-y=0，x+

3

y=0，
①当直线AB的斜率不存在时，则AB的方程为x=1，
易知A（1，1），B（1，-

3

3

），
所以AB的中点C显然不在直线y=

1

2

x上，不满足条件；
②当直线AB的斜率存在时，记为k，易知k≠0且k≠1，
则直线AB的方程为y=k（x-1），
分别联立

y=k(x-1) x-y=0

，

y=k(x-1) x+ 3 y=0

，
解得A（

k

k-1

，

k

k-1

），B（

3 k

1+ 3 k

，-

k

1+ 3 k

），
所以AB的中点C的坐标是（

1

2

(

k

k-1

+

3 k

1+ 3 k

)，

1

2

(

k

k-1

-

k

1+ 3 k

)），
因为AB的中点C恰好落在直线y=

1

2

x上，
所以

1

2

(

k

k-1

-

k

1+ 3 k

)=

1

2

×

1

2

(

k

k-1

+

3 k

1+ 3 k

)，
解得k=

3+ 3

2

，
则直线AB的方程为：y=

3+ 3

2

（x-1），即（3+

3

）x-2y-3-

3

=0，
所以直线AB的方程为（3+

3

）x-2y-3-

3

=0．

点评：本题考查了分类讨论思想、中点坐标公式、直线方程的点斜式、一般式，考查了计算能力，属于中档题．