Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，若AB的中点为（1，-1），则抛物线的方程为（　　）

• A、y²=（2+2

  3

  ）x
• B、y²=4

  3

  x
• C、y²=（1+2

  3

  ）x
• D、这样的抛物线不存在

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设条件设出直线AB的方程，代入抛物线方程，由线段AB的中点的横纵坐标，推导出y₁+y₂=-2，由此能求出结果．

解答： 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵AB中点为（1，-1），∴y₁+y₂=-2，（x₁+x₂）=2
∵直线过焦点（

p

2

，0），设AB方程为：x=ky+

p

2

，
代入抛物线方程可得y²=2p（ky+

p

2

），即y²-2pky-p²=0，
∴y₁+y₂=-2pk=-2，y₁y₂=-p²，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=4+2p²，
又y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）=2p×2=4p
∴4p=4+2p²，无解
∴这样的抛物线不存在，
故选：D

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．