Question

棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AB、AD、AP两两垂直，AB=1，AD=2，AP=3，F为PC的中点，E在PD上，且PD=3PE．
（1）用向量

AB

，

AD

，

AP

表示向量

EF

．
（2）求|

EF

|．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算

专题：空间向量及应用

分析：（1）以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD这y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

EF

=

1

2

AB

+

1

6

AD

-

1

6

AP

．
（2）由

EF

=（

1

2

，

1

3

，-

1

2

），能求出|

EF

|．

解答： 解：（1）∵AB、AD、AP两两垂直，
∴以A为坐标原点，
以AB为x轴，以AD这y轴，以AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=1，AD=2，AP=3，
F为PC的中点，E在PD上，且PD=3PE，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），
P（0，0，3），D（0，2，0），E（0，

2

3

，2），F（

1

2

，1，

3

2

），
∴

AB

=（1，0，0），

AD

=（0，2，0），

AP

=(0，0，3)，
∴

EF

=（

1

2

，

1

3

，-

1

2

）
=

1

2

AB

+

1

6

AD

-

1

6

AP

．
（2）∵

EF

=（

1

2

，

1

3

，-

1

2

），
∴|

EF

|=

1 4 + 1 9 + 1 4

=

22

6

．

点评：本题考查向量的表示和向量的模的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．