Question

已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；
②；
③当，且时，成立．
称这样的函数为“友谊函数”．
请解答下列各题：
(1)已知为“友谊函数”，求的值；
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？请给出理由；
(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得，且，求证：.

Answer 1

（1）；（2）在上为友谊函数；（3）证明过程见解析.

试题分析：（1）赋值可考虑取，代入，可得，由已知，可得.
（2）要判断函数在区间上是否为“友谊函数，只要检验函数在上是否满足（1）；（2）；（3），且时，有即可．
（3）由，则，故有，即得结论成立；
(1)令，则．由③，得，即．又由①，得，所以.
(2) 是友谊函数．任取，，有．则．即．又，故在上为友谊函数．
(3)取，则．因此，．假设，若，则．若，则．都与题设矛盾，因此.