题目内容
设二次函数.
(1)求函数的最小值;
(2)问是否存在这样的正数,当时,,且的值域为?若存在,求出所有的的值,若不存在,请说明理由.
(1)求函数的最小值;
(2)问是否存在这样的正数,当时,,且的值域为?若存在,求出所有的的值,若不存在,请说明理由.
(1);(2),.
试题分析:(1)这里遇到的是复合函数的最值问题,它是由简单的二次函数与指数函数复合而成的,遵循由内到外的解题顺序,很容易求出最小值;(2)这里是含参数的问题,常规方法是对参数分类讨论,如何分类,即分类的标准是什么?这是重点和难点,看解析往往是知其然,不知其所以然,这里的分类标准是将动区间与二次函数的定对称轴进行比较,自然就会分出它们有三种相对位置关系,即对称轴分别在区间的左、中、右,故讨论分三种情形,当然讨论必须遵守不重不漏的原则,因此我们还必须关注细节,如区间的端点等,学会讨论重要,学会回避讨论更重要,它对化繁为简的能力要求非常高,这里的解法一是分类讨论的,而解法二就回避了讨论,解得很简洁,用心体会一下.
试题解析:(1),令
则为上减函数,因此,则当时, 4分
(2)法一:
①当时,
而当时,的最大值为,故此时不可能使,且的值域为.7分
②当时,
则最大值为,即,
得与矛盾,故此时不可能. 10分
③当时,
∵,为减函数,则
于是,即,
,即
∵,∴, 13分
综上所述,,. 14分
法二:
,
,即,即,为减函数,
于是,即,
,即
∵,∴, 14分
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