Question

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

1

2

DC=1，BP=BC=

2

，PC=2，AB⊥平面PBC，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC；
（Ⅲ）求V_P-ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PD的中点为E，连接EF，由已知条件推导出四边形ABFE为平行四边形，由此能证明BF∥平面PAD．
（Ⅱ）由等腰三角形性质得BF⊥PC，由线面垂直得CD⊥平面PBC，从而得到BF⊥平面PDC，由此能证明平面ADP⊥平面PDC．
（Ⅲ）由勾股定理得PB⊥BC，所以PB是四棱锥的高，由此能求出V_P-ABCD．

解答： （Ⅰ）证明：取PD的中点为E，连接EF，
∵F为PC中点∴EF为△PDC的中位线，
即EF∥DC且EF=

1

2

DC．…（2分）
又∵AB∥CD，AB=

1

2

CD，∴AB∥EF且AB=EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，∴BF∥AE．…（3分）  
又∵AE?平面PAD．BF?平面PAD
∴BF∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵BP=BC，F为PC的中点，∴BF⊥PC．…（5分）
又AB⊥平面PBC，AB∥CD，∴CD⊥平面PBC，…（6分）
DC⊥BF，又DC∩PC=C，∴BF⊥平面PDC．…（7分）
由（Ⅰ）知，AE∥BF，
∴AE⊥平面PDC，又AE?平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC．…（8分）
（Ⅲ）解：∵AB⊥平面PBC，AB?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PBC且交线为BC…（9分）
又BP=BC=

2

，PC=2，∴PB⊥BC，
∴PB⊥平面ABCD，
∴PB是四棱锥的高，…（10分）
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD•PB=

1

3

×(1+2)×

2

×

1

2

×

2

=1．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查锥体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．