题目内容
设双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若
=λ
+μ
（λ，μ∈R），λμ=
，则该双曲线的离心率为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
. |
| OP |
. |
| OA |
. |
| OB |
| 3 |
| 16 |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=
，解之可得λμ的值，由λμ=
可得a，c的关系，由离心率的定义可得．
| b |
| c |
| 3 |
| 16 |
解答：
解：双曲线的渐近线为：y=±
x，设焦点F（c，0），则A（c，
），B（c，-
），P（c，
），
∵
=λ
+μ
，∴（c，
）=（（λ+μ）c，（λ-μ）
），
∴λ+μ=1，λ-μ=
，解得λ=
，μ=
，
又由λμ=
，得
×
=
，解得
=
，
∴e=
=
故答案为：
．
| b |
| a |
| bc |
| a |
| bc |
| a |
| b2 |
| a |
∵
. |
| OP |
. |
| OA |
. |
| OB |
| b2 |
| a |
| bc |
| a |
∴λ+μ=1，λ-μ=
| b |
| c |
| c+b |
| 2c |
| c-b |
| 2c |
又由λμ=
| 3 |
| 16 |
| c+b |
| 2c |
| c-b |
| 2c |
| 3 |
| 16 |
| a2 |
| c2 |
| 3 |
| 4 |
∴e=
| c |
| a |
2
| ||
| 3 |
故答案为：
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．
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