Question

在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．
（1）证明：面PAB⊥面ABCD；
（2）求平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出PM⊥AB，从而得到PM⊥面ABCD，由此能证明面PAB⊥面ABCD．
（2）延长AB与CD交于一点H，作AN⊥PH，连接ND，则∠AND就是平面PAB与平面PCD的二面角的平面角，由此能求出平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值．

解答： （1）证明：∵AB=2PB=4BM，∴PM⊥AB，
又∵PM⊥CD，且AB∩CD，
∴PM⊥面ABCD，…（5分）
∵PM?面PAB．∴面PAB⊥面ABCD．…（7分）
（2）解：由（1）知：面DA⊥面PAB，
延长BA与CD交于一点H，
作AN⊥PH，连接ND，
则∠AND就是平面PAB与平面PCD的二面角的平面角，…（10分）
在△AND中，AN=

39

13

，AD=2t，
∴sin∠AND=

13

4

，
∴平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值是

13

4

．…（15分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．